Demonstranterna uppges bit för bit ha monterat ner barrikaderna, och förloppet ska inte ha varit våldsamt.
Hundratals soldater i kravallutrustning har hittills hindrat dem och inget våld har rapporterats.
Mursi har beordrat militären att hjälpa polisen att skydda palatset och givit dem rätt att gripa demonstranter.
I morse skadades minst nio personer när okända angripare besköt demonstranter som campade på Tahrirtorget i Kairo, enligt ögonvittnen och egyptiska medier. Uppgifterna bekräftas av både motståndare och anhängare till president Muhammad Mursis planer på folkomröstning om en ny författning.
Både presidentanhängare och oppositionen ämnar inta Kairos gator i dag.
Oppositionella hade i dag planerat sex olika demonstrationståg som strålar samman vid presidentpalatset. En bit därifrån mobiliserar Muslimska brödraskapet, som har kallat till två "miljonmannamarscher", rapporterar egyptiska al-Ahram på nätet.
Samtidigt fördröjer Internationella valutafonden (IMF) beslutet om det lån på 4,8 miljarder dollar, motsvarande 32 miljarder kronor, som preliminärt utlovades Egypten i november, uppger Egyptens finansminister för Reuters.
IMF skulle ha fattat ett slutgiltigt beslut om lånet den 19 december, men det väntas nu i stället ske i januari.